メルセンヌ素数と完全数は、数論において深い関係を持つ自然数である。
メルセンヌ素数はマラン・メルセンヌに由来し、2p − 1（pは素数）の形で表される。例えば、3はメルセンヌ素数である（3 = 22 − 1）。メルセンヌ素数を構成する指数pは素数でなければならないが、逆は成立しない（211 − 1 = 2047 = 23 × 89）。
完全数は自分自身を除く正の約数の和が自分自身に等しい自然数である。6の正の約数は1, 2, 3であり、1 2 3 = 6だから、6は完全数である。
ユークリッドは紀元前3世紀頃に「Mp = 2p − 1 が素数ならば、 Mp × (Mp 1)/2 = 2p − 1 × (2p − 1) は完全数」ということを証明した。例えば、メルセンヌ素数3（22 − 1 = 3）に対して、完全数は6である（22 − 1 × (22 − 1) = 2 × 3 = 6）。レオンハルト・オイラーがユークリッド・オイラーの定理を証明し、これらがただひとつの偶数の完全数であることを証明した（メルセンヌ素数と偶数の完全数は一対一対応）。
メルセンヌ素数や完全数が無数にあるかどうかは未解決の問題である。メルセンヌ素数の個数はLenstra–Pomerance–Wagstaff予想の対象であり、与えられたxより小さいメルセンヌ素数の数は (eγ / log 2) × log log x（eはオイラー数、γはオイラーの定数、logは自然対数）に近似されるとしている。さらに、奇数の完全数の存在は未解決の問題だが、存在するならば101500より大きい数でなければならないことが証明されている。
以下は、2025年1月現在で既知の52個のメルセンヌ素数と対応する完全数、および指数pの一覧である。そのうち最大のメルセンヌ素数18個がGIMPSにより発見された。発見者は「GIMPS / 参加者の名前」の形式で掲載されている。新たなメルセンヌ素数はリュカ–レーマー・テストにより発見されている。判定法の効率性ゆえに、既知の最大の素数の多くがメルセンヌ素数である。
2021年10月現在、48番目（p = 57,885,161）までのすべての可能性がある指数がGIMPSにより検証されている。49番目以降の順位は暫定であり、新たな素数の発見により変動する可能性がある。桁数が多い数は各数値の最初と最後の6桁のみを示している。
脚注
注釈
出典
外部リンク
- OEIS sequence A000043 (Corresponding exponents p)
- OEIS sequence A000396 (Perfect numbers)
- OEIS sequence A000668 (Mersenne primes)
- List on GIMPS, with the full values of large numbers Archived 2020-06-07 at the Wayback Machine.
- A technical report on the history of Mersenne numbers, by Guy Haworth Archived 2021-10-13 at the Wayback Machine.
